この記事は何？

某ツイートで紹介されていた、 $125$ 人の天皇の誕生日が一様独立に決まっている場合に、天皇誕生日の日数の分布と期待値を求める計算を厳密にやります *1 。

ワロタhttps://t.co/kEyQOTwjLI pic.twitter.com/5IwrSro7sx
— 鴨川を徘徊する魔女 (@Kamohai_) April 22, 2023

モチベーション

元記事だと何十時間もかかるみたいに書いてあったけど、競技プログラミングをやってる人ならすぐに計算できるよねと思ってたら書いてほしそうなコメントもらったので書いてみます。

ブログで高速な解法書きましょう
— ねぼこ (@nebocco27) April 24, 2023

問題の定式化（再確認）

$M$ 人の天皇がいて、それぞれ誕生日が $N$ 日の中から一様ランダムに決まっているとき、その誕生日として現れる日 *2 *3 の数を $X$ とする。 $X$ の期待値と分布を求めよ。以下 $N=365,\ M=125$ とします *4 。

期待値

期待値だけなら簡単です。 $N$ 日のうちそれぞれが天皇誕生日である確率は $1-(1 - \displaystyle\frac{1}{N})^{M}$ なので、期待値はこれらの合計の $N \big \{ 1-(1 - \displaystyle\frac{1}{N})^{M} \big \}$ です *5 。元論文でもこの結果に言及はされているが、なぜ「なぜ一致するのかは不明である」のように記載されているかは不明である。

分布

包除原理

一般論

競技プログラミングでよく使われる包除原理を使います。包除原理は、「または」と「かつ」に関する事象の数え方で、例えば「りんごまたはみかんのいずれかを食べた人数＝（りんごを食べた人数）＋（みかんを食べた人数）ー（どちらも食べた人数）」のような言い換えの一般化です。詳細はググってください。

本問の場合

本問では、天皇誕生日の集合が 特定の $x$ 日である確率は、 $x$ 日それぞれを含む・含まないについての $2^{x}$ 通りについて包除原理を適用すると、 $\displaystyle\sum_{i=0}^{x}\ (-1)^{x-i} * { }_{x} C_i * i^{M}$ となります。これは階乗・ $M$ 乗計算の前計算を前提に $O(x)$ 回の演算で計算できます。すべての $x\ (0\le x \le M)$ について計算しても、前計算を含め全体で $O(M^{2})$ 回の演算で計算できるので十分高速です *6 。天皇誕生日の日数がちょうど $x$ 日である確率はこの $_{N} C_x$ 倍です。

コード例

以下にコード例を示します。 float をそのまま出力しています。次節以降のように桁数を増やす場合は少しいじる必要があります。

# 設定
N = 365
M = 125

# 階乗の前計算
fa = [1]
for i in range(1, 400):
    fa.append(fa[-1] * i)
def C(a, b):
    return fa[a] // (fa[b] * fa[a-b])

# ちょうど a 日になる確率（分母を N^M としたときの分子）
def calc(a):
    s = 0
    for i in range(a + 1):
        s += C(a, i) * i ** M * (-1) ** (a - i)
    return s * C(N, a)

# 出力
for a in range(126):
    print(calc(a) / N ** M)

計算結果

50 桁

小数点以下 $50$ 桁だとこんな感じ。

$x$	天皇誕生日がちょうど $x$ 日になる確率
$0$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$1$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$2$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$3$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$4$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$5$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$6$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$7$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$8$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$9$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$10$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$11$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$12$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$13$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$14$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$15$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$16$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$17$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$18$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$19$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$20$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$21$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$22$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$23$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$24$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$25$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$26$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$27$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$28$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$29$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$30$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$31$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$32$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$33$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$34$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$35$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$36$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$37$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$38$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$39$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$40$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$41$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$42$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$43$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$44$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$45$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$46$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$47$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$48$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000000$
$49$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000002$
$50$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000000134$
$51$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000006693$
$52$	$0.00000000000000000000000000000000000000000000306262$
$53$	$0.00000000000000000000000000000000000000000012842139$
$54$	$0.00000000000000000000000000000000000000000494379309$
$55$	$0.00000000000000000000000000000000000000017502194209$
$56$	$0.00000000000000000000000000000000000000570718561252$
$57$	$0.00000000000000000000000000000000000017167082815289$
$58$	$0.00000000000000000000000000000000000477008279721836$
$59$	$0.00000000000000000000000000000000012259832950976278$
$60$	$0.00000000000000000000000000000000291818717016426426$
$61$	$0.00000000000000000000000000000006440516370891028059$
$62$	$0.00000000000000000000000000000131942927401327094993$
$63$	$0.00000000000000000000000000002511653937388687448285$
$64$	$0.00000000000000000000000000044469776387538696424755$
$65$	$0.00000000000000000000000000732991308273561543702357$
$66$	$0.00000000000000000000000011257291689623893138523000$
$67$	$0.00000000000000000000000161220007763865435317453560$
$68$	$0.00000000000000000000002154664903164695993659167615$
$69$	$0.00000000000000000000026891817244261475422203488208$
$70$	$0.00000000000000000000313633700527307104493418542282$
$71$	$0.00000000000000000003420183120323756116137974734068$
$72$	$0.00000000000000000034893289008969334288321920425770$
$73$	$0.00000000000000000333213544093248978447096467228458$
$74$	$0.00000000000000002979852093334799030327112464497043$
$75$	$0.00000000000000024965624533928166787418173808655934$
$76$	$0.00000000000000196034112910927938213522829423249405$
$77$	$0.00000000000001443144711343104963289514983044243745$
$78$	$0.00000000000009963375232950231520606828788814725799$
$79$	$0.00000000000064525701587182353132682521402204907374$
$80$	$0.00000000000392086426120104166837266178657451209355$
$81$	$0.00000000002235778210222252143317333455830595388718$
$82$	$0.00000000011965481376017370947714846279678754485985$
$83$	$0.00000000060106901466779236286427468565697572358993$
$84$	$0.00000000283420023816929354443087287291147641260248$
$85$	$0.00000001254436864237896912319048798931690429126539$
$86$	$0.00000005211460987261729161495898797964623225033810$
$87$	$0.00000020319945895308885758792252211300357232317833$
$88$	$0.00000074349299816525269305446601008717814951136407$
$89$	$0.00000255234572879600782819920559959990559210008211$
$90$	$0.00000821872643132009821720626558935359032639280244$
$91$	$0.00002481658723822685828330424618389530512789555765$
$92$	$0.00007024200132149853779798579492345382833641555813$
$93$	$0.00018628887710054298059385211219929704455464416797$
$94$	$0.00046270220763230551469101864653151033294357500778$
$95$	$0.00107572093635497549120586830910855861654490562302$
$96$	$0.00233941363839182012697917707428223653520703534874$
$97$	$0.00475569726555764925128173579970433097237877186738$
$98$	$0.00902969454823963197816335569837876688750810305147$
$99$	$0.01599902071684735311707167269883243876640355993412$
$100$	$0.02642645186101604332042834519884242750139250530778$
$101$	$0.04064640242550989770289652193736929845034216059434$
$102$	$0.05814325286431799126232657034359961278047926768255$
$103$	$0.07724378651833554325305570561166857899884926067212$
$104$	$0.09515618079221206518708715200651902284131861935663$
$105$	$0.10850800181092303010377596309864489775066306959617$
$106$	$0.11431119375794554865094384716232284168591430565874$
$107$	$0.11101057076605115750582271234480760463938205728739$
$108$	$0.09913202234371060462882640199823127561617235437090$
$109$	$0.08117497699936696104834682688344617854005686950940$
$110$	$0.06075857131892151487894885425098393647292077777090$
$111$	$0.04141820773548289752531546669140343882987080003057$
$112$	$0.02560690163910682119462958297758573586383229456811$
$113$	$0.01428889412374261269771887506486999998609594767337$
$114$	$0.00715568591178599614354973820344429750419242042710$
$115$	$0.00319446809428659065318361629834197501443248145594$
$116$	$0.00126108348245205674744482240689592370868195395851$
$117$	$0.00043594062314729866778935743971571882449610395656$
$118$	$0.00013036369916699565445819482483698847236557635581$
$119$	$0.00003320417875050856576738331041719815116384696533$
$120$	$0.00000705795325653814827602770302808688067480052230$
$121$	$0.00000121752030830107114964260494891524622157295032$
$122$	$0.00000016366282845126500633221019981420807986083996$
$123$	$0.00000001607545496124308388046859842434113617972278$
$124$	$0.00000000102577721835750199052693495548861040355779$
$125$	$0.00000000003189836253214941673767629990616194932354$

厳密解

厳密に求めると書いちゃったので、正確な値も書いてみます。すべて分母が $365^{125}$ *7 の分数で書けるので、この場合の分子を記載しています。

$x$	天皇誕生日がちょうど $x$ 日になる確率（分母を $365^{125}$ としたときの分子）
$0$	$0$
$1$	$365$
$2$	$2825619704319742765983996896461545285744900$
$3$	$3509994716348150507042675103240652948571556517462176277955866984500$
$4$	$1316124937159785216822500631328254287686971654250669956243568389673863541881013059600$
$5$	$123476963671175483334552216571484646615415141488778394461214784347217134343308323534343322534038760$
$6$	$58531943882068454044031930034365339990180752192232993326267870240037469010696850396372031883401044908759488000$
$7$	$701032330246997252759162556424540208567315319362721867636349953946482825208907071510987257820890021154805466416979264000$
$8$	$556575744990020681749960664906702197015866362357280361670506563093416958280042302287104424619657333752663056434017286928065216000$
$9$	$54703348005851701326356612720175114901147021047216807303220790221099097516209596094540107351047554127473195959745614694177486463526432000$
$10$	$1021276929632060936987154401660736597624992505466975709986765658666075734761741407781934545117584916090489161071910767984169268281882063400000000$
$11$	$4920861240740888065811339632539089628993784845035185858774324004928824835051476807130194571523255247665621631906212497955638554649387953679522477120000$
$12$	$7680097691243441426371287538727792112535208027803494221860461728223251514563298392061843102515130495887833267521262948758657541023723773265874107890039040000$
$13$	$4616415352401098209376811746173695964649515967706261224929825574768278656919066386766140481879807390658515869780796070329765844331382074848082838066907044563840000$
$14$	$1223159737556313930848975676633615900282752125910917666895581861113934599358096226437338564020151363433776036332013647567188105025571939673541901747563754248982528000000$
$15$	$159040280189475064482488830580132129563240564846330593287295854646653555813332020334440430644028671053620442715990815091765327574126158285951375287297382645834930145689600000$
$16$	$11067139885770835423997260330528934551338125800126708518620683659096144359778286491909220709574690121573549030113605618742619654894664373795079158030420439857858719125045248000000$
$17$	$442514359082989367949859852403536188996896500506187893615360842546684020758048014396568373617774221291706159781817593165733305626313542920520152744524303649741780510835480901632000000$
$18$	$10784033254373619988487007274352852019934115308556750301378537158857922619371264592912162601163990489148303136432599157318802136764917460077421938825393155602474631520166769710407680000000$
$19$	$168290631613941616826136938263983475265305463182893864964892408397122596927974644418899048938616097422099183689277421246964089932113828314498649116630188436242358755811638438282171228160000000$
$20$	$1753604495217061663452136928773457948183679810871778802096658955893086667982512600336222210200383273468131936592322473576713797909813232633074204395296762098930528338144983464904776216576000000000$
$21$	$12644665219578091984279811463948251482754744881311063095723095564881650479683698035536805499559173659640012146239578726885689797518035542521471809797209954005279573856424725547857090884413112320000000$
$22$	$65062698546062121635417257684023446522640203773547606017811351273603528819798258355268586350205557052483830134986295458142422364897186854675796235506378977508329806427503577424961232009203856179200000000$
$23$	$245340002755975295439974954248144717703398671084201510237794807296599178956368615483791442957414776413012716802946986424088012048383503316614279478197130407227874783671541265575608259792178744688640000000000$
$24$	$693903086847057005329314649839410769967004692727818658624180828470698100542331661493820947927964465414530732916365451516858976591453814058661935660103605430670013941994657374956990908183522680892411084800000000$
$25$	$1502337880256514217935696912513985834450039447107391074754494463852443967203196224625589934174415308442319196028980652676308809039243771070162546176608771953814883656751960849526408945615746801949156330438656000000$
$26$	$2534982851854328911238474408449303700975331329266649566155026664803934135040829209737815976622663001580873392167501223603038852791773811083145097234852441756354920400352142483135136599949778782228980690989875200000000$
$27$	$3387157550809774325958910959545211089877963594273115593134583965464131443087335192334172475245662400941174249713369684153503797044821720017673207711958673974733478650853505422750907779187283045185552712416139673600000000$
$28$	$3635017932741170722834981252821732604873179866286014158932034647570861308626352293515161756717575215571756238294131949359888619764951384436405982392554079448441507630155750760221234096896847762996189279969637197414400000000$
$29$	$3173193157799125431290641915587918249052591540543725048193125076339143695175747623359269490853466527169325953675925669347671603789708733378673256640166334367450614629442335526976031458570840084889316019473980391345356800000000$
$30$	$2279040511984152093899609543864774148568172926688702015039049033210827154603018259125772455003845678049836197700281006379763473084844530972901472384189206036878900621324832616036700483582733015628423679412068407050240000000000000$
$31$	$1360607269985071562289233524881295451731423097980624369163967241804916111719135100656734435492763244943477300737256678400499446790918656577320372525347165384690100484974821359039352422977177562988126112962379697599096553472000000000$
$32$	$681511853930257847648300101185281594430611249287377868344019546310833599993035863037321441929874489386034460604556609685036570995173275448334765056297856395742317278057293985089471851083591623121669765738425042980855709958144000000000$
$33$	$288825979817585898213335654698423338832203933724964647696493593791635751742167055111354141642387348431299898711562532775936973004731527475356726257690066091059860814984013499417221520298534725838905414738312614852437032518549504000000000$
$34$	$104365261756122085221520329166920075030200834911848572173995306133930711715784247633334780426874463227246528700512153559910281422912074234454337365767613034173419037651485614617264147672503687677827483368859506157689524244919091200000000000$
$35$	$32380061604565281962338270396481383980161014522650325958375541726429549670962734837125841053727709426912443665185949910705660042125765986647320609938829283165892926335762407304099642285274210082962624385919035345314537653592559452160000000000$
$36$	$8681397950123933561466432354506519702152987398010329165930767515542774690855670238515829559220839233559433432526488147128721719690683764116730722368630953145582799933893868149175363921088432482397138816859674958224672168773025750056960000000000$
$37$	$2023259524735050802935446046015115467337986747018546907087197507429721825716146329597523296796333980280579076428834653725100940636503331373643618908193994999136363490547647357097644113419138566599202868467379246365579360861952666543063040000000000$
$38$	$412115377207146949055581145089128286103060179822454877707894809186430235167067098143845817157076954207532021154418750963709451539428111565446004449033581129127282860951134800424127320923304555651270806358270165541056175687833915204671897600000000000$
$39$	$73733284364055326250703432992037234241045739336640460570726001230994479868938185601400965013858274747556549831599436438384917744627529752723308159281248787782014391198608014300493929345239332021776509692306795343375741511885675987524072243200000000000$
$40$	$11641084094791034585858224217595878326406233597245297403583798145394242876298994549600387597190791875038435528202536152850490559273837593637740486947353786065831281711938974076524225982857125633368445352947406913485761888311711414660943052800000000000000$
$41$	$1628798498058402946105215873863811755414474707325226348127978118434241617412753515936797531367893265899281504611440916218008736024224631505348200961241610692115224590044404720299983655585715485551705210287800120105057984560944304717360562962432000000000000$
$42$	$202772931800835117856006601888712992450480214369279261105066016460658045423359307939199992267058932523115193616517345787935547683195606770354665625147594375125993892801591670658116301867358259107989879965652087183008531928176447839919784088043520000000000000$
$43$	$22543635309616964220591641757822014155584960390056445993360630524091514349626332852016786995575817315598958157001567725847911404589093313071291407110063402474390646407418016774954310153363653740889730015423853677104650376530024210403677784401510400000000000000$
$44$	$2245954734867083653129728114646584988523823078033534607034732241968744443882259441854440407191853910910613022666753307621536047892489710148076820134385102497387219253255522949455518320319674689257808817535228323035534142179883787922885788489670983680000000000000$
$45$	$201155388100243210607817799869865039092443102241926889302454064146965222893419287368833975781903915033682905868597561700393174545139268522378143716830033387866513009144011344244550301168637779400229787326639972752808910241297634105955549517030287736832000000000000$
$46$	$16244785150762248306103569432379501668219645229722557676622650064260222532447664191300113147543622506773604398247106342028077119649224846506556404381242649569068886405517383789580365343640556097546382581164872864936311216540611560650005075176262415155200000000000000$
$47$	$1186208648867494784370558243195771121889082181632242078928336626017199262438984561953733732875082401501359023368146060769561007284842209068283046132863365225255801100166521161247796129719540578846714886567703380737579102770511484161530551685525748160921600000000000000$
$48$	$78525053920584083148101697856936935524752984255121762662907126761373775210946821449317710778193419439303638595366899483270348475354366083500263696532463352543506134453630296145709716106115005783259695981529500349426941283543789018265042161005273171781222400000000000000$
$49$	$4724097733175469104601907992779086069586225372532054352679417394604405408402578427828185510477210929074976410139159433481434741651712705652218643473810303299450581902229452742259513103524354311677970709307062017832528543135248374755827544746997660705934540800000000000000$
$50$	$258875007436967670133028729849841235324096669016937445746338891430395926416454065028121317574672665297382973577174210543996703860809318395016607607572734225681952698651378538219491555022616880348080328311687848584582892775228943793674850126482649802342400000000000000000000$
$51$	$12949643477779190872288742261447878880872270463864893277458583437797857069351617635962081748974459496741487560716262132692878648874302203054777514499994761270691484747970558111817426112016437372185546492784212615496690503599611661807583341960637945001416641740800000000000000$
$52$	$592517091949613240520464005225314815536948169060603785549368066732349772525265194275670920709507664037174722107861472568616473023894704739035994931297230614873348490420421835059251063846682996565826798245696859639326632699208567598654166650879919508174027725209600000000000000$
$53$	$24845368000500225137936170007224662980237120842707318738914188197930580316572472227403690961714325832693118455262642689411727313526721051024798506827349362030628558201848902293549566951604388229561979601992690498651099799337881118568970456547864005428023159003545600000000000000$
$54$	$956463372298786435343724680125782458750573017646988683966718902484236302367396248709873591070745646140058829279333250163211457360996268848541433317828680490231740166510529310393814908219160676859136481604015377488929053560642317101730181352761358481532247909335040000000000000000$
$55$	$33861060493435096987424404625285459157435722030627443572885970746848191246865925052230251204042673968140657521536542231876928501018469045457840316459876681678753120725118746070701058085833168139766570015279695170754140116703053219433940040771329534928541454836957184000000000000000$
$56$	$1104155027445871833041519996234997287835106362098400132567739542889705004646519620699651613525485686042927445537722978793596199530420650225714433536185728819826718432924838246605593224167464319809020140300345263030237187443535383739795996871409718963022098243954671616000000000000000$
$57$	$33212728801899179636354874314379704580462462590774461520880747261677621770237282739719329466610393667205117261550883300732381182374031503138479772197053803073487400003167370550534097265727603281071958763182766372807658870187437506848241146168929109430190550506352410624000000000000000$
$58$	$922856072934653226997869130447099945773760583133618950082135665951127828647646434157712090034525794965192519560780568822784817470826650925414682830333870323714377654174807948394072514748274353975237775858398581063917930817855452748176194861751970832783073446215402127360000000000000000$
$59$	$23718794354199754521214255820803700731033222548764591951183666418934996706705891454674118968951131437853754317983622685853242010004959489153691647473970928551353117366551547948191102836674238919066479817600807628118564367252920367308030402058921509461834915043437413662720000000000000000$
$60$	$564574424896046338826250488222020668421199842528602034817980049945465431310867623958281610232459937494425533147335219338417152573300732802953823607343544267774232831386404993729759830284414480314152479638670864064862426219554222372776253690730609252960650574197172469760000000000000000000$
$61$	$12460307081415532844440307221486180796174225735743046128386292446550788476024056967040672309653188928455904561833087985847571450388442764643096316540740769528850671138694936725523903321651878726057062699348056801790368566868101120780688291044479279115438687478758153251717120000000000000000$
$62$	$255266705022597707314697188563284413523091690889417965724442555412847962993634319314660634204838205810943699723189639741433970028697681796797663702727077672842474867705118026333029029787297257432613951274168000692121321508372986301446270312771039726737066223166223453205299200000000000000000$
$63$	$4859234499202080792836372585818223040660819484058515567464449759714747807316299953547392458476796602871302007977919331667929556270423317137429644892374468255778653230370840718880663296750129634990955171776692504280676238347075755812262391336774409833135580013057024079167488000000000000000000$
$64$	$86034572031365623904858980212717564028495295637239506387604626212803479430113521414204135530713039090932660166621219861712234446940494057131075580163344984446148472838355788068531816677727499735313247998931411553644593933298776823374597493443130544017176225770051860955974860800000000000000000$
$65$	$1418100081287974086641459655423054617532038764354909218105881659015781881793387711134840400740224184957203599956293822948333802984415740383398342006796895007777985686710025345099402127747090227248420469548495109166353606992909944320056809422065283298227075849228118543138407055360000000000000000$
$66$	$21779202672591754263926478755216099721943660633857614568931743406342086007469591889729072844535076608529040056618301724367037127629536636192651129464176468686683899122317796762091503889870646673486973447729403269864794275065388344017760805218121669888337029144355567142636093440000000000000000000$
$67$	$311908345344061376966478368039313226014869195139191381132010648065286105353329682008798215367436127548295483091770692966124295077376345181752343911735773842885508712819498327580217970604428399823295447963974491772192871088006770964950058508681905955909924058621615267615206277120000000000000000000$
$68$	$4168576680019564339537714528638003340898242709615125256131037319697620158947463608647147663678675233179470739672358395299028899307847752049751658192860953328401649668305095657921783908451175103678540355522877567221601300706999391994090963812969916818624358710757667745907479674880000000000000000000$
$69$	$52026931001255439214092399620376607183473520715168760549948763371933677748433906604699993528781744856906949615964230555083029360760883791343169800095867221635848580963065454739475680128680531587939396788557742401547721915103162842154298528672854264325437968894555808722621887938560000000000000000000$
$70$	$606779331749498502052151583756626977491187959598739968286852764375717760031323818667570223281462650024456440770774538252156336981312736322444263383076056503824292263455483596190433613428913753151816340730701227676582973436815902467379910514245908763682209293343011014476562432000000000000000000000000$
$71$	$6616943347356493029583640429947002520603812033062309848261163894864258127349876452999059011874689414435546693296466944357634794783667698808951562662969619652166389300295213417227308520840611641645882629811798689412347610242980863760503473648577838682445040426331317484851691729715200000000000000000000$
$72$	$67507179718912597826005390003382275869102590367522822845984885830178910466850221108519765383274612523512578991519609654334592855890168991879392241861660598597562724872252307948681830869522308215189589773554114512433326086208523216312508339036318636336640296375123456809739636598374400000000000000000000$
$73$	$644659968858097479188494521437296687748832989831731364457563533059493438627834830781586318875041495824249942604885698316606282263515219079185134954591306816825855789042247133630239087763884793888465144770422005088226708052465186883958054526285984609345075869367941746017987541231206400000000000000000000$
$74$	$5765045844455120618164723523665944083732575099722511490637236478662597389066405886560664119865948322182203322300600176480163192990305105598183234610621921158190251885518728436464222154555778742506450290591909865366173767030811163529819528645086639726166039848629855415309944907366400000000000000000000000$
$75$	$48300373798914746031584334394594991119677474238407478132631553809004109315926420546449891600602239740902229416621143700482519759077949588088304165096075869674072961974087656055520151818526326985543629875125903375537591049547942271473525775865564795905526138265994369285045739885428736000000000000000000000$
$76$	$379262330011764902286783765902016380185823821839754304406857893312394816990934233477203269893500093911007288801102510611717999950433655494163409135457379950926548324159003184191544668526987274430747943145368160285914809902165368589270585796121502214467764749565204544089297494741509734400000000000000000000$
$77$	$2792016234525633387475275090797829332944957524205933682699774276771976587850592550488868642003074374601813700791421398179162168688704964585209060013147224727548961920429735916740076273395450635736288404406407400506200217399398048725267897239139272696874556055878975968695376451319994777600000000000000000000$
$78$	$19275894636497064134234127977551213885011420002004759182435583410729587486332472931270991631436029608611418161410515353830482389181935090916337509760723743269326033983371334755924633149879547593573009172914285698184022341543833742495894043567376194151689508502699909035593691620268048384000000000000000000000$
$79$	$124836272453856233334994716977419420599727860496564273189325299683655998347333591569672937647080774991303190234856287189823392942231451731997963571180734047731138675242102053216495170273537128460537115038738249828824055705186596489647430020495469774926994150524017444711558231347374850048000000000000000000000$
$80$	$758559871688571449850027990408130060553817307869545692116133091129792536975416376855277245339810404077154504553022087664245917602398118554011163263693391874303458395731372557431918429960782282964736267981095895664335109439903778126085970371760650967939209448947414702739746338497363968000000000000000000000000$
$81$	$4325504580846632999956860751361644713210585529040626462855925327179055188542351589786260479978030526791511786209872762766426771679768312898682004200453100189121116564276053030129062980355885198127056992031442834452420651526932418367707232248716253698212145315916751848317972609191559299072000000000000000000000$
$82$	$23149319671942426558391821061409343540489882744693269432865336904409980406846131981755528048817026920605613023416248307765605691886225418370003993973092134838741123478155264735754535827866369472114565584573451847250250710839981747361214199756431352922403657983321450766513673538299358085120000000000000000000000$
$83$	$116287329595723040197925677170802610320186218706944132361371378957767769732951428976124094435023033310880877891342218759663943395761994405610994473477585466151216133322957524385678153557832086834684653508126058255173674938938190198633595787923570574259609329109004979877277876691089437491200000000000000000000000$
$84$	$548325681732949347954734384848909396833710568559380890335652949365383618699261047755765187843986331373726202839492667522347969476187223918448494570205060551376613864855518737172542869904443192329765221313681278081727999189880147564650612675193722477234051164813540063694157322629626388807680000000000000000000000$
$85$	$2426927849030480994492992057146521359268502672280615394466242910837093987435112196967518080418666292796416605262581193632544440824338355036684773773390230858024196602836452528083179736272614152160786883559505910479826906474499469176638992399857369641073112537849305403649451852711818747183104000000000000000000000$
$86$	$10082484152604417896931838550897600531767219699840757857045045921025716861491602679150327378906273483177510128137385368855230259389162758529494245831696602883313213867841723211034273061585719400349770286032428418432643199486195195854967377509634397590687679933734513559644570438268926663065600000000000000000000000$
$87$	$39312494705804041452368770663373695428683893401920387604085787684674694254363809903143983170425025251834368345621911041360753928407630410067945468342646634962085846914319685879343638718462882442771482726985527068161190607223675889445777165778590118905484639370852682861490441761125168893132800000000000000000000000$
$88$	$143841743992643459439535093329490588292277494436811795261746178942036300230302285118988576386560747118037461287723921216331741876034421104254948240453183887479624700506315346499968235288960484768164306502659624781847952506661484867412061255982986737803688601001094465645206520990621379015475200000000000000000000000$
$89$	$493795989751326796276979420841015880452427709465244771113277135586511829416426714426511545531343979109162886826808967770134533519124344969865200404360675248849520789551705233544314115179552788526778301584005239281201976869680984479215160354456626414306502722927209618440274361197080688879206400000000000000000000000$
$90$	$1590056592593164705811850016967354901313781276676025034466773279594750338405030979037613823942026390276317848312754347306666630584408735753714259332740445539567717616463248165146466156253961697520799676549325886839303156380032030706357088430172098587664510101856344987767173822398028840960000000000000000000000000000$
$91$	$4801203504405725046943093557125282315289731595750366471832718101980439886059663519888042925848353860203754514866519017156916066290145873101240515123965735138210316985659510042599426720865093896091884959375370073836626410795510269677084709325187173893000664390548578587112803448518656844103680000000000000000000000000$
$92$	$13589545559341242427510881438230836465469316073825873285418939224032436360537641707119537797118030978989695287785021090795962103765905306630006681129548217931332836846574798074712849795987980182364631715697770055227064497360256785162980318244952603519959658248407513723070944613222397520117760000000000000000000000000$
$93$	$36040846429891296787602380787785718566667546186766828615340138468526834506892658876073509317590555632427434817334246174589423503862364467885018681643284677501314909426193293086951339789874011590794736032481554721472345647108593753754440233297382897173079644569086064523423739644275414804725760000000000000000000000000$
$94$	$89517847053462073242131098440373492117508734475353444036000282235911262678418679759629226164824572112303572421647862993752444787300050931493842845980353917395246505311631240178590633303358894206260698160109854931089860331635110409642889698292747896454222339747144267286806798480256643629056000000000000000000000000000$
$95$	$208117058151914416149074922230744225910453836046913798698672382663049531137120725576721513999443615390883217615765428183420945146345764671280026918872435447513771977025192261233268442660736467684333925638863151060994148792459565217542597009682577579097656153074958199616962267867793806747238400000000000000000000000000$
$96$	$452600547008327456783125647525719123670627091630372041099674738251056462154818406197868292097495879374573996914919741916771054071568199290465488258074462639176679191111060900422759337631059972516320068608280701798791656636662464978525225848352292107353893666812919338741247761445880588979404800000000000000000000000000$
$97$	$920072939848740027946770542904126432299672191200088014114135980186996835267583528715505643078694951293238029592370433923001167089328857364801336291315823644837919521470682155323430216056549616085779058534547911949658685417676599126748258879888493194678848777421557888528740812714360544899891200000000000000000000000000$
$98$	$1746952580246041349995802964560675263995545196405807335419558743084776824108244810994558757705967827328120610839115688215422654318058683439450791171279882196008154472498581574111358042488037105114973926528245626514819325944225642972717965451130791264631276012587526466566840126885823825051648000000000000000000000000000$
$99$	$3095290806725594566680888283951173238602202302746415515688616696917334554615458132299252382883978920870237792357017613081637743950548698009979030228341739273753308005727460032963328928835531919768425348678934726624559369101352941191646742201808242082353088201283878525477573497499517626351616000000000000000000000000000$
$100$	$5112660015099839826653069265370778919513870162208554832714775251976002998637808604829908646937203551132317714446793545193901303914430033574146738682255308371957765177996856127943086075735675520107686244270377871768092820878562341026641140763084207321427046038408910914473189957217959280640000000000000000000000000000000$
$101$	$7863758537525123526327965596444649635298115586625707761520651483838717132952195245143240588052619527013116187568167076844927660482473394923551978520147793465978910366382283767739226995058494737844309240955975807175090289649088617510220262793933568485356133200357845721435069279517914396675276800000000000000000000000000$
$102$	$11248830740904788537211902860756197872664796459504086536505369005831016206365596720472853820618216100673971725165626245059813957071916821974449110345335371790917576222184417143215101784358887154903477069780450419982885019330095791872810543048974710128577734452437948845913379546855892391559168000000000000000000000000000$
$103$	$14944163553404792384466273133094588830019112301917829334006295972864294882370910945068179907517121058158196816200430201549929485419166641200128479402665156576475735679274424688019273350927015029597256727888628571347166279042286528675185687430763188254480901660515240296726655925911931416739840000000000000000000000000000$
$104$	$18409629990609304751907039584345953847854775989051697307644996707056561243639363078401285371772034710078708213687108450193009115773753870621288769992790247885726938509314059448249117135966984282258608109851730325657871397172701837632878956345675067755180249131373356353143794103947728751951872000000000000000000000000000$
$105$	$20992773645692048607297239400981921294471991337052923750430897741778192685868970560352561327909791256119582575348392491342934371842201799865227577256591519007136678077687453434187741011999895633336753814363999787158536509124726408294641187721516317654333082174037205073663510016248618144707379200000000000000000000000000$
$106$	$22115502780255127902229996016813253807925179288430674387925687953842540967126326047871751106093686255994195637157552901821656509559430034508670526050287626933911471704531622490444582728002590605232736743247384934971027096363835573641491076894653006000793216237788310030116172898941713891983360000000000000000000000000000$
$107$	$21476939446655607428125209809740500364509851187955072486606443704941793838586998597112275166956632024210018242223075306360263291386172902875325000249081363449713627489956361418555650650567099771342474441893909567343742838421050592985744273338443322694132483353481696227415159124371525683118080000000000000000000000000000$
$108$	$19178826182123209964208807289510222331148827777046348617578961678919529501915013412171760081363712442703383442296426394300941379647214648924395306134560024681647549292844818178929926080536362591301191507210882516914062328996800480247438004419201322631682015531023940090276806896019662459371520000000000000000000000000000$
$109$	$15704721213200202980570225584719072705782821808485819390588736036587152251847511267194472053045541435955410765097076305902311172378429906892305363001377158210713987913846774505612734560851645743630466835043596686338930760067925137254003688227948770289298770824504419766801955223619205374935040000000000000000000000000000$
$110$	$11754809907534010174286930449499674110133534455885769775305294092514839402753630056989932409571968390408461522579757459736629115226549349085008034455958511153993880464435333068032863818714999164495340291743715119738915720728401382049019071867643044571422536446893634555637451344151629004800000000000000000000000000000000$
$111$	$8013077794173487632394233623643575348944652207986433951544205175432488136447194607755356404245944071209170552125187165250740914683720599598320743927631834464375393884709671745553428683217208822820997645047748371525218301001488663964134983482494737578482524556119302160405304386070306514534400000000000000000000000000000$
$112$	$4954103668907083075768054391771921337567147891834191239766336237228906064914247560014924834747598525830188114908135285038106535478911197520010287225435918157522730418078463838173817143458330986446480735717761708373333307868708241296680763931953262656749049953602360265160467777921330498764800000000000000000000000000000$
$113$	$2764436861621313819298360518948613286672758338281180801071632235723317066721210875535456008790298363916798491321022030194104344607701676250106942365211631448823800659544129524825313694172817617197161795790459750962328333984622475586959317688396125962492132322345588917749673431040640470220800000000000000000000000000000$
$114$	$1384392783193517191334156314193785403839584147575012866217175852589908437674090708135460813310405091190820460410659308147689260092217691250489375471362692819876443658465920631647993305390746129120916826877910410081708721931659856994495352890518847307068664499532054510534995580370561269760000000000000000000000000000000$
$115$	$618025809180396574385861433449725861035317062707571654812009283801089813393382413961371864163857054123844894608506854084802065060030109092985771604356401542524059536256615951861717074330360004207323686312429820930656667889716893171597887213188376992984987546811404020162238625063530135552000000000000000000000000000000$
$116$	$243978689622981347354319725319047337892489064004273858510650429183387013022108861412340956300167123952902739216545551538172019078686025834340201698792090478040430664208967829533292178635966499735125195673424576086388731102004117437936433681657851321244564159622778307483277415942612582400000000000000000000000000000000$
$117$	$84340349761854414204259011190222033744597936118852152984140663531199099745718155259542718256393933812124048240391620277447431954827899135150004376738814445436898213001155720854803942074115265192151981560164886665319170981464018963941769293039745116959125341563210668292717684270406041600000000000000000000000000000000$
$118$	$25221141137559327548993827572371696272386932103519196254009143968429333136839532468818739589248800832867617885190139416911539523259531702591205484359253010599704203088256502437850234759291272468748205817049995592564250879830632806614496014724986679286488460391306604321150944761872384000000000000000000000000000000000$
$119$	$6423930004859377795872220648003711956011234800168704911830578274654216205922494125956568610573324404654221832836806369341400204206104936756472212602000435108112539113699359278703625290824300825902305185382269164870466309273146331912500106859604504539784424905755446105982554559479808000000000000000000000000000000000$
$120$	$1365484689088295232273793288074815944594211592532893434068706914779935728835703636877650849035045422638882608160340821668185414216778561143481650030837732075706405228032067606007541090743814866775052856720995775841751314951289620620872944150349272665844023920131316474900804649615360000000000000000000000000000000000$
$121$	$235550630503129012198378749801167450823604064563607476283762192424958449838843510353163470495183344760854356910968290636684052220939584263240958971509216494502867030076440176026830430189064219254581037252242464894210162242352937922208225683633175502047998265698377360945974823878656000000000000000000000000000000000$
$122$	$31663440986388840728372406274013259887291762511404669840303189935449930256469909537269886768696603619161455672477736444930386721877128026732451490162418226453340357229891025762988075457652096702301828254882816450546972665009597549623262863172336454256754031179685320739398625525760000000000000000000000000000000000$
$123$	$3110078350174925297518110841014995309489758596452559812513966880019908134406575693761769084031427463330303375384789563697680567296548682039222249330325818022976417649923093195891324196438910790333000546662770986762320549715646982394613262921962111988237224174117792432403356057600000000000000000000000000000000000$
$124$	$198454571059283301779665873045650326933822433840875273468261037564882733955541547235424685124747645649553966207809907558296294604024991708237780972429491881756174837516516428056875532112911380688354945891203844112453941471637856226630562854875367462400371325019513716187636695040000000000000000000000000000000000$
$125$	$6171296983908035577922512955355061779490478265245282697529149684275708243004582307579012789040539690521613658849314544716052516073551355056168414755549360452030727205352317311188000417962792612373360252874855023367922567053512690402318148132253362379159934107058426529189734645760000000000000000000000000000000$

期待値は約 $105.965408586231405593934205706662260751965897939$ 日 *8 です。

実行時間

Python で雑に実装して手元で実行すると 0.01 秒程度でした *9 。計算時間に関しては元記事もネタっぽいし、リプにもネタっぽいのがいくつかありますね。もしネタじゃなければ競技プログラミングをやれば計算量の把握や高速化が上手になるかもしれません。

これ Python のせいにされてるの何回見てもじわる https://t.co/CUa47KCD92
— きり (@kiri8128) April 25, 2023

まとめ

$M=125$ 人の天皇の誕生日が $N=365$ 日の中から一様かつ独立に選ばれる場合、天皇誕生日として現れる日の日数の期待値は $N \big \{ 1-(1 - \displaystyle\frac{1}{N})^{M} \big \} \risingdotseq 105.9654$ であることが期待値の線形性から分かる。天皇誕生日の日数がちょうど $x$ 日（ $x=0,1,\cdots,M$ ）である確率は上の表のとおりである。包除原理を使うと必要な演算回数は $O(M^{2})$ 回なので雑に実装しても一瞬で計算できる。

追記

もっと速くなるっぽいです

https://t.co/g1WJJg64Z2
— 熨斗袋 (@noshi91) April 25, 2023

*1:元論文

*2:複数の天皇が同じ誕生日であっても 1 回しか数えない

*3:天皇誕生日と呼ぶ

*4:元の論文に合わせてうるう年は考慮しません

*5:期待値の線形性

*6:「 $O(M^{2})$ 時間」と書いていないのは、必要な桁数によっては計算量が変わる可能性があるからです。分母が $N^{M}$ なので愚直に分母・分子を全部持っても $O(M\log N)$ 桁程度なのでそれでも十分高速です。

*7: つまり $193467516637826401287204282638777796402688771379556919280960716666436329486857003133713264939685701792987543567298529410176952152155205156322699366298883013060129569255273307828859761101183838425025060481649298163653070757247047877869025080268759994493278082912126625261637293440482310291628209597547538578510284423828125$

*8: 正確には $\displaystyle\frac{20500864448690797060931150186184870216381296397754153967073899862132947733564210189850981922246796493476167240911883967961492788355735440509594330405514329609960056962928170855467471498061974014521953683029491459589382894889749926123099167806930943459680225420916140260807824695676646761910258039961300725974511716860987865}{193467516637826401287204282638777796402688771379556919280960716666436329486857003133713264939685701792987543567298529410176952152155205156322699366298883013060129569255273307828859761101183838425025060481649298163653070757247047877869025080268759994493278082912126625261637293440482310291628209597547538578510284423828125}$ 日